Resolución numérica del problema de Bratu: diferencias finitas y métodos de continuación

Abstract

[ES] En este trabajo se lleva a cabo la resolución numérica del problema de Bratu unidimensional. Para ello se procederá, en primer lugar, a la discretización mediante diferencias finitas centradas de orden dos del mismo. A continuación, se construye la parametrización de las curvas de soluciones del problema continuo en entornos de puntos regulares y de puntos singulares simples; tras lo cual se inicia un estudio sobre la aproximación numérica de las soluciones del problema continuo por las del problema discreto correspondiente. También se presentan algunos tipos de funciones escalares que serán de utilidad a la hora de detectar los llamados puntos de retorno no degenerados, que son los que presenta la curva de soluciones del problema de Bratu. Finalmente, se implementa un método de continuación respecto al parámetro longitud de arco y se muestran los resultados numéricos obtenidos.

[EN] In this memory the numerical resolution of the one-dimensional Bratu problem is carried out. Firstly, we will proceed to its discretization, using the second order centered finite difference scheme. Then, the parameterization of the solution curve of the continuous problem in a neighbourhood of a regular point is obtained and, in the same way, near a simple singular point. A study of the numerical approximation of the solutions of the continuous problem by those of the corresponding discretized problem is also carried out. After that, some scalar functions are presented in order to detect the so-called nondegenerate turning points, which is the case in the solution curve of the Bratu problem. Finally, an arclength continuation method has been implemented and numerical results are given.