Los Espacios de Sobolev-Bochner

Abstract

[ES] En este trabajo hablaremos sobre los espacios de Sobolev-Bochner Wᵐ,ᵖ(B). Estos espacios son una generalización de los espacios de Sobolev Wᵐ,ᵖ(I), cuya construcción se debe al matemático ruso Serguéi Sobolev. No obstante, para poder definir los espacios de Sobolev-Bochner a partir de estos últimos será necesario debilitar la noción clásica de derivada y definir un nuevo tipo de integral, además de dejar atrás el uso de funciones con valores en un espacio vectorial de dimensión finita para emplear funciones cuya imagen es té contenida en un espacio de Banach genérico. Además, los espacios de Sobolev-Bochner Wᵐ,ᵖ(B) tienen especial interés, sobre todo, en el estudio de la existencia de soluciones de ciertas ecuaciones en derivadas parciales como, por ejemplo, las ecuaciones de evolución parabólicas. Entre dichas ecuaciones se encuentra la ecuación del calor, cuyo análisis matemático está entre los objetivos de este trabajo.

[EN] In this document we will talk about the Sobolev-Bochner spaces Wᵐ,ᵖ(B). These spaces are a generalisation of the Sobolev spaces Wᵐ,ᵖ(I), whose construction is due to the Russian mathematician Serguéi Sobolev. However, in order to define the Sobolev-Bochner spaces from the latter, it will be necessary to weaken the classical notion of derivative and to define a new type of integral, as well as to leave behind the use of functions with values in a finite-dimensional vector space in order to use functions whose image is contained in a generic Banach space. Furthermore, the Sobolev-Bochner spaces Wᵐ,ᵖ(B) are of special interest, above all, in the study of the existence of solutions of certain equations in partial derivatives such as, for example, the parabolic evolution equations. Among these equations is the heat equation, whose mathematical analysis is among the objectives of this work.