Classification of Leibniz algebras with a given nilradical and with some corresponding Lie algebra

Abstract

En esta tesis se estudia la clasificación de las álgebras de Leibniz con un nilradical dado y con alguna álgebra de Lie correspondiente (el álgebra de Leibniz módulo el ideal generado por los cuadrados de los elementos del álgebra). Para ello aplicamos en álgebras de Leibniz el método de Mubarakzjanov usado para álgebras de Lie. Utilizando dicho método clasificamos las álgebras de Leibniz solubles con nilradical nulo-filiforme, y extendemos dicha clasificación al caso en que el nilradical sea una suma directa de ideales nulo-filiformes y el espacio vectorial complementario del nilradical tenga dimensión uno. También estudiamos las álgebras de Leibniz solubles cuyo nilradical es el álgebra de Lie de las matrices triangulares superiores. Por otra parte, también estudiamos las álgebras de Leibniz solubles con nilradical filiforme naturalmente graduado. Existen dos clases de álgebras de Leibniz filiformes naturalmente graduadas, que no son de Lie, F1 n y F2 n. En particular, clasificamos las álgebras de Leibniz solubles con nilradical F1 n y F2 n. La última parte de la tesis está dedicada a la investigación de las álgebras de Leibniz correspondientes a las álgebras de Lie de tipo diamante. En concreto, describimos las álgebras de Leibniz cuyas álgebras de Lie correspondientes son las álgebras de Lie de tipo diamante y con cuatro tipos específicos de módulos indescomponibles. Finalmente encontramos una representación fiel del álgebra de Lie de tipo general de diamante, la cual es isomorfa a una subálgebra del álgebra de Lie simpléctica.