Sucesións e series de funcións reais

Abstract

Esta unidade didáctica forma parte do curso de Cálculo Diferencial e Integral,e está destinada a estudantes que inician o estudo da análise matemática. A súa finalidade é presentar de maneira gradual os conceptos fundamentais e as técnicas básicas das sucesións e series funcionais. As sucesións e series de funcións, que xa foron motivadas en temas anteriores do curso, posúen unha importancia e interese intrínsecos. Por un lado, con elas pódense definir novas funcións, polo outro, permiten aproximar funcións por outras máis sinxelas, de xeito que das propiedades destas se poidan inferir as da función orixinal, idea esta última que subxace en moitos dos métodos da análise. A representación de funcións mediante series de potencias xogou un importante papel no desenvolvemento da análise. Moito do traballo de Newton con derivación e integración foi realizado no contexto das series de potencias. Gregory (un dos primeiros matemáticos que traballaron con elas), Euler, Lagrange, Leibniz e Joham e Jacob Bernoulli usaron amplamente as series de potencias no cálculo. Os traballos de Fourier neste campo obrigaron a cuestionar o concepto de función existente na época, e motivaron a outros matemáticos, como a Cauchy e Dirichlet. Dende o punto de vista histórico o uso das series de potencias precede e motiva o estudo de sucesións e series funcionais. Disposición que podería ser mellor dende o punto de vista didáctico. Non obstante, para facilitar a presentación formal da unidade didáctica escollemos outra orde, que coincide coa formulación usual en manuais sobre o tema. Pretendemos desenvolver os temas coa motivación real que propiciou a súa orixe de modo que os estudantes sexan participantes activos da evolución das ideas e non queden como meros observadores pasivos dos resultados. Os conceptos e resultados da unidade con frecuencia irán precedidos dunha discusión xeométrica ou intuitiva para dar unha idea máis profunda dos resultados. Aínda que nos contidos da unidade non se inclúen as demostracións dos teoremas, estas serán feitas nas aulas; as demostracións dos resultados máis importantes considéranse parte esencial no desenvolvemento das ideas matemáticas.