Unicidad de solución para ecuaciones diferenciales ordinarias

Abstract

Como bien indica su nombre, en este Trabajo Fin de Grado estudiaremos algunos de los distintos resultados existentes sobre la unicidad de solución para el problema de Cauchy relativo a ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Empezaremos recordando algunas definiciones, lemas y teoremas ya conocidos, para, más adelante, introducir nuevos resultados o demostraciones distintas a las ya estudiadas durante el Grado. En primer lugar, trabajaremos con el Teorema de Unicidad de Lipschitz y conceptos relacionados, usándolo como puente hacia los nuevos teoremas que se darán posteriormente. Como novedad, se estudiará el Teorema de Picard-Lindelöf, donde introduciremos el método de las iteradas de Picard y estudiaremos, brevemente, su convergencia. Finalmente, nos centraremos en el estudio y aplicación de otros resultados que garantizan la unicidad para la solución, como el Teorema de Unicidad de Peano, o el debido a Osgood. Los resultados teóricos recogidos, algunos más conocidos que otros, estarán acompañados de ejemplos y, en ocasiones, representaciones gráficas, para poder ilustrar de mejor manera lasprincipales hipótesis y el comportamiento de las soluciones en cada caso.

As its name indicates, in this Final Degree Project we will study some of the different existingresults on the uniqueness of solution for the Cauchy problem relative to first order ordinary differential equations. We will begin by recalling some definitions, lemmas and theorems already known, in order to, later on, introduce new results or different proofs from those already studied during the Degree. First, we will work with the Lipschitz Uniqueness Theorem and related concepts, using it asa bridge to the new theorems that will be given later. As a novelty, we will study the Picard-Lindelöf Theorem, where we will introduce the method of Picard iterates and we will brieffy study their convergence. Finally, we will focus on the study and applications of other results that guarantee the uniqueness of the solution, such as Peano's Uniqueness Theorem, or the one due to Osgood. The theoretical results included, some of which are more familiar than others, will be accompanied by examples and, sometimes, graphical representations, in order to better illustrate the main hypotheses and the behavior of the solutions in each case