Grupos de transformaciones

Abstract

[ES] Los grupos de transformaciones están ligados a la noción de simetrías de un espacio dado y han alcanzado gran notoriedad en diversas ramas de las Matemáticas desde su aparición en el siglo XIX. El objetivo de este trabajo es hacer un estudio de los grupos de transformaciones desde el punto de vista de la Geometría Diferencial y, en menor medida, de la Topología. Se hará hincapié en las acciones propias de los grupos de Lie sobre las variedades diferenciables, así como en las acciones isométricas sobre variedades de Riemann. Con este fin, se hará una breve introducción a los fibrados vectoriales y a las variedades de Riemann. También se dedicará una parte del trabajo a la demostración de tres teoremas fundamentales relativos a las las acciones propias: el Teorema de la Variedad Cociente, el Slice Theorem y el Teorema de la Órbita Principal.

[EN] Transformation groups are linked to the notion of symmetry of a given space and have attained great notoriety among several branches of Mathematics since their appearance in the nineteenth century. The aim of this work is to study transformation groups from the perspective of Differential Geometry and, to a lesser extent, Topology. Special interest will be devoted to proper Lie group actions on differentiable manifolds, as well as isometric actions on Riemannian manifolds. With this objective in mind, there will be a brief introduction to vector bundles and Riemannian manifolds. Furthermore, a part of this project will be dedicated to proving three fundamental theorems regarding proper actions: the Quotient Manifold Theorem, the Slice Theorem and the Principal Orbit Theorem.