Ejemplos notables en Teoría de la Medida e Integración de Lebesgue

Abstract

[ES] En el presente trabajo, inicialmente, trataremos aspectos generales de la teoría de la medida para luego particularizar al caso de la construcción de la medida de Lebesgue. Será entonces, dentro del marco de la medida de Lebesgue, que analizaremos ejemplos interesantes de conjuntos medibles y no medibles. El primero que veremos, será el conjunto de Lusin, un conjunto que es Lebesgue medible, pero que no es de Borel. A continuación, mostraremos la construcción del conjunto de Vitali, que es el primer ejemplo de conjunto no medible que se conoce. Finalmente, veremos el conjunto medible de Cantor y, asociado a este, la función de Cantor, la cual emplearemos para la construcción de contraejemplos dentro de esta teoría de la medida[EN] In the present work, initially, we will introduce the general aspects of the theory of the measure and then particularize the case of the construction of the Lebesgue measure. It will be inside this case that we will analyze interesting examples of measurable and nonmeasurable sets. The first one we will see will be Lusin’s, a set that is measurable Lebesgue, but is not Borel’s. Then, we will shown Vitali’s, which is the first known example of a nonmeasurable set. Finally, we will see Cantor’s measurable set and, associated with it, the Cantor function, which will be used to construct a counterexample within this measure theory