Dimensión en álxebra e xeometría

Abstract

As variedades alxébricas son os subconxuntos do espazo afín determinados por un sistema de ecuacións polinómicas. A falta dun análogo do teorema da función inversa provoca que a noción de dimensión neste tipo de conxuntos requira a introdución de nocións de dimensión no contextodos aneis conmutativos. O obxectivo deste traballo é analizar as propiedades que debe verificar unha definición de dimensión neste ámbito e estudar a dimensión de Krull como definición apropiada. Veremos varios resultados que nos brinda, como se aplica ao caso das variedades alxébricas e distintas caracterizacións que a relacionan con outros aspectos xeométricos.

Algebraic varieties are defined as the set of points satisfying a system of polynomial equations. The lack of a result akin to the inverse function theorem implies that the notion of dimension concerning this kind of sets demands the introduction of notions of dimension within the context of commutative rings. The aim of this dissertation is to analyze the conditions that a dimension definition must satisfy in this field and to study the Krull dimension as an appropriate definition. We will see several results about it, how we may apply it to algebraic varieties and some characterizations that connect it with other geometric aspects.