Caracteres e teorema de Burnside

Abstract

[GL] Se 𝘎 é un grupo finito de orde 𝘯 tal que 𝘯 só ten dous factores primos, dito grupo é resoluble. Isto é o que nos dá o Teorema pᵃqᵇ de Burnside, cuxa proba é o fin do traballo. Para acadar este obxectivo existen dúas vías, a orixinal usando caracteres e outra máis moderna mediante teoría de grupos. Nós empregaremos a orixinal, polo que introduciremos os conceptos de representación dun grupo e a súa relación cos módulos sobre a álxebra de dito grupo, de representación irreducible, paralelamente ó de módulo simple ou de carácter irreducible, todos eles xunto coas súas propiedades. Deste xeito, tras este proceso disporemos dos resultados precisos para a demostración do teorema. No transcurso da memoria porase de manifesto a versatilidade dos caracteres, especialmente dos caracteres irreducibles, para o estudo de grupos finitos, debido a algunhas das súas propiedades, como ser funcións de clase ou verificar as relacións de ortogonalidade.

[EN] Whether 𝘎 is a finite group of order 𝘯 such that 𝘯 does not have more than two primes factors, 𝘎 is solvable. This is what Burnside's pᵃqᵇ theorem provides, whose proof is the main objective of this dissertation. There are two possible ways to prove that theorem, the original one, which uses character theory or another one which employs groups theory. We will use the original way, this is why we are going to introduce the following concepts: group representation and its relation with modules over the group algebra, irreducible representations and modules or irreducible characters, all of them with its properties. Therefore, after this process, we will get the neccesary results to prove the theorem. Throughtout the dissertation, we realise the versatility of characters, especially the one of irreducible characters, to study finite groups due to some of its properties like being class functions or verifying the orthogonality relations.