Espacios de grafos y grafos aleatorios

Abstract

[ES] El propósito del trabajo es estudiar diversos aspectos algebraicos, topológicos, geométricos y dinámicos de los grafos de Cayley y Schreier. Este objetivo se complementa con una introducción al estudio de los grafos aleatorios. El trabajo combina demostraciones originales de aspectos conocidos de los grafos de Cayley y Schreier con el estudio topológico y dinámico del espacio de Gromov-Hausdorff de los subgrafos de un grafo de Cayley (introducido originalmente por É. Ghys en [14]) y una introducción al estudio de grafos aleatorios (en el sentido de D. Aldous y R. Lyons [4]) a partir del concepto de subgrafo aleatorio de un grafo de Cayley. Es un primer paso para la resolución de varios problemas abiertos: la comparación de los espacios de Gromov- Hausdorff asociados a distintos sistemas de generadores, el estudio de la equivalencia de Kakutani de grafos aleatorios, y el problema de las decoraciones de Schreier (en un sentido amplio) de los subgrafos aleatorios de grafos de Cayley[EN] The aim of this work is to study several algebraic, topological, geometric and dynamic aspects of Cayley graphs and Schreier graphs. This objective is also supplemented with a brief study of random graphs. This work assembles original proofs of well known concepts about Cayley and Schreier graphs with the topological and dynamic study of the Gromov- Hausdorff space of the subgraphs of a Cayley graph (which was first introduced by É. Ghys in [14]). We complete our work with an introduction to random graphs in the sense of D. Aldons and R. Lyons in [4] from the concept of random subgraph of a Cayley graph. This is a first step to the resolution of some open problems: the comparison of the Gromov- Hausdorff spaces asociated to different systems of generators, the study of the Kakutani's equivalence of random graphs, and the problem of Schreier decorations (in a wide sense) of random subgraphs of a Cayley graph.