Introducción a la teoría de bifurcación

Abstract

¿Qué ocurre cuando una mínima variación en un parámetro desemboca en un cambio drástico en el comportamiento de un sistema? Esta pregunta es la que motiva el estudio de la teoría de bifurcación. En este trabajo se hace una presentación accesible de dicha teoría, centrada en bifurcaciones locales de sistemas dinámicos continuos representados por ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs). En primer lugar, se dan nociones básicas sobre sistemas dinámicos y ecuaciones diferenciales, necesarias para entender el fenómeno de bifurcación. Posteriormente, con un ejemplo motivador, se muestra cómo pequeñas variaciones en parámetros pueden generar comportamientos cualitativamente distintos, lo que justifica la necesidad de desarrollar un marco teórico adecuado. Sobre esta base, se analizan, teórica y gráficamente, distintos tipos de bifurcaciones (como la de tipo fold, transcrítica, pitchfork y de Hopf ). Finalmente, se retoma el ejemplo inicial para aplicar la teoría desarrollada. El trabajo busca combinar el desarrollo formal de la teoría con su aplicación, para así poder comprender fenómenos del mundo real.

What happens when a minimal variation in a parameter leads to a drastic change in the behavior of a system? This question is what motivates the study of bifurcation theory. This work presents an accessible overview of this theory, focused on local bifurcations in continuous dynamical systems represented by ordinary differential equations (ODEs). Firstly, basic concepts of dynamical systems and differential equations are introduced, which are necessary to understand the phenomenon of bifurcation. Subsequently, using a motivating example, it is shown how small variations in parameters can lead to qualitatively different behaviors, highlighting the need to develop an appropriate theoretical framework. On this basis, different types of bifurcations (such as fold, transcritical, pitchfork, and Hopf ) are analyzed both theoretically and graphically. Finally, the initial example is revisited to apply the developed theory. The work aims to combine the formal development of the theory with its application in order to understand real-world phenomena.