A teoría da multiplicación complexa e o soño de xuventude de Kronecker

Abstract

O soño de xuventude de Kronecker fai referencia ao problema de construír tódalas extensións abelianas dun corpo cuadrático imaxinario, estendendo así o teorema de Kronecker-Weber. Para o estudo desta cuestión, o instrumento central é unha certa clase de curvas elípticas, cunha estrutura aritmética especialmente rica denominada multiplicación complexa. Neste traballo vaise explorar a relación entre estas dúas cuestións. Comezarase introducindo, por unha parte, as curvas elípticas, definindo nelas unha estrutura de grupo, centrando a atención nos puntos de orde finita; e doutra banda, as extensións de Q, facendo fincapé naquelas cuxo grupo de Galois é abeliano, así coma nas xeradas por raíces da unidade ou puntos de curvas elípticas. Posteriormente, presentarase o concepto da multiplicación complexa e, finalmente, botando man tamén das representacións de grupos, aplicarase toda a teoría para estudar unha realización concreta do soño de xuventude de Kronecker, tomando como base o corpo cuadrático imaxinario Q(i).

Kronecker’s Jugendtraum is related to the problem of finding all abelian extensions of a quadratic imaginary field, therefore generalising the Kronecker-Weber theorem. To study this issue, the main tool is a certain class of elliptic curves, with a specially rich arithmetic structure, called complex multiplication. In this work we will explore the connection between these two topics. We will start by introducing, on one side, the elliptic curves, defining over them a group structure, focusing on finite order points; and on the other, extensions of Q, emphasising those with an abelian Galois group, as well as those generated by roots of unity or elliptic curve points. Afterwards, we will present the concept of complex multiplication and, finally, with the help from group representations, all the previous theory will be used to study a particular case of Kronecker’s Jugendtraum, looking at the abelian extensions of Q(i).