Método de Householder-Hyman-Sturm para o cálculo de autovalores de matrices

Abstract

Neste traballo abordarase a aplicación de métodos numéricos para o cálculo dos autovalores dunha matriz desde a descripción, análise, codificación e execución en exemplos académicos. Inicialmente, realizarase unha introdución que explica a importancia do cálculo de autovalores na vida cotiá, seguido dunha clasificación dos distintos métodos dispoñibles (Capítulo 1). A continuación, o estudo centrarase na análise teórica e computacional dos métodos descritos. No Capítulo 2 estúdase o método de Householder para a redución dunha matriz calquera a unha semellante de tipo Hessenberg superior, así como a súa adaptación ao caso dunha matriz simétrica (que se reduce a unha tridiagonal simétrica). O Capítulo 3 está dedicado ao método de Hyman para o cálculo dos autovalores dunha matriz Hessenberg superior resolvendo o seu polinomio característico usando Newton-Raphson. Finalmente, no Capítulo 4 estúdase e prográmase o método de bisección de Givens para calcular as raíces do polinomio característico utilizando as propiedades dunha sucesión de Sturm.

This work will address the application of numerical methods for the calculation of eigenvalues of a matrix, from the description, analysis, coding, and execution in academic examples. Initially, an introduction will be provided explaining the importance of eigenvalue calculation in daily life, followed by a classification of the different available methods (Chapter 1). Next, the study will focus on the theoretical and computational analysis of the methods described. Chapter 2 examines the Householder method for reducing any matrix to a similar upper Hessenberg type, as well as its adaptation to the case of a symmetric matrix (which is reduced to a symmetric tridiagonal matrix). Chapter 3 is dedicated to the Hyman method for computing the eigenvalues of an upper Hessenberg matrix by solving its characteristic polynomial using Newton-Raphson. Finally, in Chapter 4, the Givens bisection method is studied and programmed to calculate the roots of the characteristic polynomial using the properties of a Sturm sequence.