A función L p-ádica dunha forma modular

Abstract

[GL] Este traballo céntrase na construción e estudo da función L p-ádica asociada a unha forma modular. Comézase introducindo algúns conceptos de formas modulares e símbolos modulares e as súas propiedades básicas. A continuación faise a construción da función L p-ádica, para a cal se introducen as funcións L e estúdanse algunhas das propiedades e conceptos relacionados, probando a alxebricidade dalgúns dos seus valores concretos e utilizando o teorema de control de Stevens (cuxa proba é abordada con posterioridade) para acabar por construír a función L p-ádica asociada a unha forma modular e probar a súa propiedade de interpolación, baixo certas hipóteses. A última parte céntrase en estudar o que acontece cando o peso da forma modular varía e analizando os casos crítico e Eisenstein.

[EN] This work aims to construct and study the p-adic L-function attached to a modular form. It begins by introducing the concepts of modular forms and modular symbols and their basic properties. Next, the construction of the L p-adic function is made, for which the L functions are introduced and some of the related properties and concepts are studied, proving the algebraicity of some of its concrete values and using Stevens’ control theorem (whose proof is addressed later) to finally construct the p-adic L-function associated to a modular form and prove its interpolation property, under certain hypotheses. The last part focuses on studying what happens when the weight of the modular form varies and analyzing the critical and Eisenstein cases.