Sobre a Xeometría e Topoloxía das Curvas Alxébricas

Abstract

O traballo centrarase en probar que o xénero topolóxico dunha curva alxébrica proxectiva coincide co xénero aritmético de Clebsch-Noether, entendendo o primeiro deles como o xénero topolóxico da súa superficie de Riemann asociada. Comezarase vendo a existencia do modelo non singular dunha curva. Posteriormente, obtense que tal curva lisa pode ser encaixada isomorficamente en P3 e, dende aquí, esta pode ser proxectada ao plano nunha curva con nodos ordinarios como únicas singularidades. Esta resultará ser un modelo birracional da orixinal. Chegados a este punto pódese definir o xénero aritmético. Utilizarase a proxección da curva con só nodos ordinarios como singularidades sobre unha recta P1 para o cálculo dunha triangulación da superficie de Riemann asociada á curva. Este feito permitirá obter a igualdade dos xéneros.This document focuses on proving the equality of the topological and the arithmetic genus of an algebraic proyective curve, understanding the former as the topological genus of its associated Riemann surface. We start by proving the existence of a non singular model of a curve. Then, we obtain that said curve can be projected isomorphically into P3 and, from there, can be projected into a plane in a curve with only ordinary nodes as singularities. This curve will be a birrational model of the initial one. Given all of this, the arithmetic genus can be defined. We will use the proyection of the curve with only nodes as singularities into a line to calculate a triangulation of the Riemann surface associated to the curve. This fact will lead us to obtain the equality of both genus.