Estrategias de pivoteo para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Abstract

[ES] En esta memoria se describen los métodos directos de factorización de matrices basados en estrategias de pivoteo que se aplican a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. En concreto se verá la factorización LU, derivada de la eliminación de Gauss, con pivote parcial y total, la factorización de Cholesky con pivote y la factorización QR con matrices de Householder y pivoteo de columnas. Cuando los métodos numéricos se implementan en el ordenador pueden aparecer problemas de estabilidad numérica en las versiones básicas, que los hacen inadecuados para resolver sistemas mal condicionados o con perturbaciones en los datos. Por ello es necesario introducir estrategias de pivoteo que eliminan o reducen, en la mayoría de los casos, esos comportamientos indeseables. Una vez calculada la factorización se puede resolver con mucho menor coste un gran número de problemas del álgebra lineal numérica. Se incluyen las aplicaciones al cálculo de inversas, determinantes y rango de una matriz.

[EN] This work describes the direct methods of pivoting based matrix decompositions in order to solve linear systems. Specifically, the LU decomposition will be derived from the Gaussian elimination, and partial and total pivoting will be introduced. For the Cholesky decomposition, the symmetric pivoting will be implemented and for Householder QR decomposition, the column pivoting will be carried out. The use of these strategies is necessary in computer calculations because the basic direct methods exhibit numerical instabilities in the ill-conditioned case. These problems are avoided in most cases by pivoting. Knowing a matrix decomposition, it will be very easy to obtain the rank, the determinant and the inverse.