Introducción a las ecuaciones diferenciales estocásticas

Abstract

El presente trabajo constituye una primera toma de contacto con el mundo de las ecuaciones diferenciales estocásticas. Para ello, primero comenzaremos tratando el concepto de movimiento browniano para después poder desarrollar las bases de la integración estocástica e introducir así la Fórmula de Itô. El siguiente paso será discutir la existencia y unicidad de solución de este tipo de ecuaciones y presentar dos métodos de resolución para el caso lineal general, con los que hallaremos una solución para el modelo de Black-Scholes-Merton y para el de Ornstein-Uhlenbeck, que luego usaremos para ejemplificar las aproximaciones de solución que nos proporcionan los métodos numéricos de Euler y MilsteinThe present project constitutes a first contact with the world of stochastic differential equations. To do so, we will first begin by dealing with the concept of Brownian motion in order to be able to develop the basis of stochastic integration and introduce Itô’s Formula. The next step will be the discussion of the existence and uniqueness of solutions of this type of equations and to present two methods of solution for the general linear case, with which we will find a solution for the Black-Scholes-Merton model and for the Ornstein-Uhlenbeck model, which will be then used to exemplify the solution approximations provided by the numerical methods of Euler and Milstein.