Teorema de Riemann-Roch para curvas algebraicas

Abstract

El objetivo de este trabajo es dar una prueba del teorema de Riemann-Roch, que es un resultado fundamental para curvas algebraicas no singulares, el cual revela las conexiones profundas que hay entre las propiedades de naturaleza algebraica y las de naturaleza topológica en las curvas algebraicas. Inicialmente fue desarrollado, en forma de una desigualdad, en teoría de funciones complejas por Bernhard Riemann, en 1857, usando métodos analíticos. Posteriormente, su estudiante Gustav Roch, en 1865, lo expresó en la forma que hoy lo conocemos. Desde su formulación incial, se han propuesto varias pruebas alternativas. Algunas son de naturaleza algebraica, como las de Dedekind y Weber, otras de naturaleza geométrica como la de Brill y Noether. En este trabajo, siguiendo la exposición dada por Serre en [S], quien introdujo la teoría de haces en la Geometría Algebraica, expondremos una prueba cohomológica en la que reinterpretamos el teorema de Riemann-Roch como el cálculo de la característica de Euler-Poincaré de un haz coherente inversible.

The objective of this paper is to give a proof of the Riemann-Roch theorem, which is a remarkable result for non-singular algebraic curves, and it reveals the deep connections between the properties of algebraic nature and those of topological nature of algebraic curves. Initially it was developed, in the form of an inequality, in theory of complex functions by Bernhard Riemann, in 1857, using analytical methods. Subsequently, his student Gustav Roch, in 1865, expressed it in the way we know it nowadays. Since its initial formulation, several alternative proofs have been proposed. Some are of an algebraic nature, such as those of Dedekind and Weber, some of a geometric nature such as Brill and Noether. In this work, following the exposition given by Serre in [S], who introduced Sheaf theory in Algebraic Geometry, we will present a cohomological proof in which we reinterpret the Riemann-Roch theorem as the calculation of the Euler-Poincare characteristic of an invertible coherent sheaf.