Lie–Rinehart Algebras

Abstract

In this thesis we collect the main definitions and results of Lie–Rinehart algebras and then we present our recent work on universal central extensions and a non-abelian tensor product of Lie–Rinehart algebras. We start with definitions, examples and some constructions. Then we see the relations between Lie–Rinehart algebras and Poisson algebras. We define the universal enveloping algebra and we explore some of its properties, giving a proof of the version of the PBW theorem in Lie–Rinehart algebras and we see that it has a left Hopf algebroid structure. We also define the Lie–Rinehart superalgebras and the Restricted Lie–Rinehart algebras structures. Then we introduce the Lie–Rinehart (co)homology. To end the thesis, we present our main results of universal central extensions in Lie–Rinehart algebras and the definition of the non-abelian tensor product.

En este trabajo recopilamos las principales definiciones y resultados sobre álgebras de Lie–Rinehart y luego presentamos nuestro reciente trabajo sobre extensiones centrales universales y un producto tensorial no abeliano. Empezamos con definiciones, ejemplos y algunas construcciones. Luego vemos la relación entre álgebras de Lie–Rinehart y álgebras de Poisson. Definimos el álgebra envolvente universal y exploramos algunas de sus propiedades, dando una prueba de la versión del teorema PBW en álgebras de Lie–Rinehart y vemos que tiene una estructura de algebroide de Hopf por la izquierda. También definimos las estructuras de superálgebras de Lie–Rinehart y álgebras de Lie–Rinehart restringidas. Luego introducimos la (co)homología de Lie-Rinehart. Por último, presentamos nuestros principales resultados en extensiones centrales universales en álgebras de Lie–Rinehart y la definición del producto tensorial no abeliano.