Resolución numérica de la ecuación de Fokker-Planck

Abstract

El presente documento aborda el método numérico de las diferencias finitas, utilizado para la resolución numérica de Ecuaciones en Derivadas Parciales. Estudiaremos este método para la resolución de un problema de valor inicial con condiciones de contorno aplicándolo a la ecuación del calor, de forma que podremos analizar sus principales características, ventajas, desventajas y diferencias respecto a otros métodos numéricos con aplicaciones similares. Dentro de estos métodos, nos centraremos especialmente en el método de Crank-Nicolson, el cual utilizaremos posteriormente para la resolución de la ecuación de Fokker-Planck, lo que ocupará la segunda mitad de este proyecto. En ella, definiremos las ecuaciones parabólicas, junto a los distintos tipos de condiciones de frontera existentes, como introducción a la ecuación de Fokker-Planck, para posteriormente centrarnos en esta última y analizar el significado físico de cada uno de sus términos. Derivaremos y describiremos el esquema numérico que utilizaremos para la resolución de dicha ecuación basándonos en las ideas detrás del método de Crank-Nicolson y posteriormente estudiaremos algunas de las aplicaciones reales de esta ecuación en la actualidad, siendo de gran importancia en ámbitos tan diversos como la física, la biología o las finanzas.The present document addresses the numerical method of finite differences, used for obtaining the numerical solution of Partial Differential Equations. We will study this method, for solving an initial value problem with boundary conditions, by applying it to the heat equation, allowing us to analyze its main characteristics, advantages, disadvantages, and differences compared to other numerical methods with similar applications. Among these methods, we will focus particularly on the Crank-Nicolson method, which we will subsequently use to solve the Fokker-Planck equation, occupying the second half of this project. In it, we will define the parabolic equations, along with some of the different types of boundary conditions that exist, as an introduction to the Fokker-Planck equation. We will then focus on the latter and we will analyze the physical meaning of each of its terms. We will derive and describe the numerical scheme that we will use to solve this equation based on the ideas behind the Crank-Nicolson method, and subsequently, we will study some of the real-world applications of this equation today, which are of great importance in diverse fields such as physics, biology, and finance.