La complejidad topológica del grupo de rotaciones

Abstract

En este trabajo abordaremos el problema de planificación de movimientos de un dron desde el punto de vista de la Topología algebraica. Para ello introduciremos el concepto de complejidad topológica, un invariante topológico profundamente relacionado con la categoría de Lusternik–Schnirelmann. La teoría de homología y cohomología será esencial para esta exposición, así que dedicaremos una parte del trabajo a explicarla. Estudiaremos las propiedades del grupo de rotaciones tridimensional como grupo topológico y probaremos la existencia de un homeomorfismo con el espacio proyectivo. Combinando las propiedades del grupo de rotaciones y de la complejidad topológica seremos capaces de calcular esta última para el caso que nos interesa.In this dissertation we will address the motion planning problem of a dron from the point of view of the Algebraic topology. To do that, we will introduce the concept of topological complexity, a topological invariant deeply related to the Lusternik-Schnirelmann category. Homology and cohomology theory will be essential for this exposition, so we will dedicate a part of this dissertation to explain it. We will study the properties of the three-dimensional rotation group as a topological group and we will prove the existence of a homeomorphism between it and the projective space. Combining the properties of the rotation group and of the topological complexity we will be able to compute the latter for the case of our interest.