Introducción a la homología de grupos

Abstract

El objetivo de este trabajo es el estudio de los grupos de homología Hn(G, M) de un grupo G con coeficientes en un G-módulo M. Se estudian propiedades de estos grupos, se da una interpretación para n = 0, 1 y una interpretación para n ≥ 0 solo para grupos cíclicos y grupos libres y se obtiene la sucesión exacta de cinco términos para homología que conecta los grupos de homología en dimensiones 1 y 2. Se obtienen algunos resultados clásicos de la teoría de grupos, como la fórmula de Hopf que describe el segundo grupo de homología con coeficientes en Z o la relación entre la homología de un grupo y sus series centrales descendentes. Para el desarrollo del trabajo se estudian previamente conceptos de teoría de módulos, el funtor producto tensor de módulos y su comportamiento sobre los módulos libres y proyectivos, y los funtores derivados Tor n G.

The aim of this project is to study the homology groups Hn(G, M) of a group G with coeficients in a G-module M. Properties of the groups are studied, an interpretation is given for n = 0, 1 and for n ≥ 0 only for cyclic groups and free groups and an exact sucessionof five terms is found for the homology that connects the homology groups in dimension 1 and 2. Some classical results of the group theory are found, like Hopf's formula, which describes the second group of homology with coeficients in Z or the connection between the homology of a group and its central descendent series. For the development of the project, concepts of the module theory are studied, as well as functor tensor product and its behavior over the free modules and projective modules and the derived functors Tor n G.