Medidas en espacios de dimensión infinita

Abstract

En este trabajo se estudiarán la medida gaussiana y la medida de Wiener como propuestas de medidas en espacios de dimensión infinita cumpliendo que la medida de cualquier abierto no vacío es estrictamente positiva y que los conjuntos borelianos acotados tienen medida finita. Se introducirá una motivación dada por la medida de Lebesgue en dimensión finita, que cumple, además de estas propiedades, invarianza traslacional y bajo acción de un operador unitario, pero veremos que no existe ninguna medida en dimensión infinita análoga a la de Lebesgue. Ante este impedimento, plantearemos la construcción de una medida usando distribuciones de probabilidad gaussianas a través del concepto de elemento aleatorio. Surge así la medida gaussiana, de la que se estudiarán la existencia en un espacio de Hilbert separable y sus características. A continuación, se planteará la construcción de una nueva medida apoyándonos esta vez sobre conjuntos cilíndricos dentro del propio espacio, pero manteniendo la filosofía de utilizar distribuciones gaussianas. Nacerá así la medida de Gauss, que veremos que no da buenos resultados en un espacio de Hilbert, forzando la introducción del espacio de Wiener abstracto, que no es más que una compleción del espacio de Hilbert original respecto a una norma determinada que permitirá tener un espacio lo suficientemente grande como para albergar la medida derivada de la medida de Gauss: la medida de Wiener abstracta. Veremos que esta última cumple las propiedades buscadas, y estudiaremos un caso particular.In this work, we will study the Gaussian measure and the Wiener measure as proposed measures in infinite-dimensional spaces satisfying the property that non-empty open sets have strictly positive measure and bounded Borel sets have finite measure. We will introduce a motivation given by the Lebesgue measure in finite dimension, which, in addition to these properties, exhibits translational invariance and is invariant under the action of a unitary operator. However, we will see that there is no analogous measure to the Lebesgue measure in infinite dimension. Faced with this obstacle, we will propose the construction of a measure using Gaussian probability distributions through the concept of a random element. This gives rise to the Gaussian measure, of which we will study its existence in a separable Hilbert space and its characteristics. Next, we will consider the construction of a new measure, this time based on cylindrical sets within the space itself, while still adhering to the philosophy of using Gaussian distributions. Thus, the Gaussian measure will be born, which we will see does not yield good results in a Hilbert space, prompting the introduction of the abstract Wiener space. This abstract Wiener space is nothing more than a completion of the original Hilbert space with respect to a specific norm, which allows for a sufficiently large space to accommodate the measure derived from the Gaussian measure: the abstract Wiener measure. We will see that this latter measure satisfies the desired properties, and we will study a particular case.