Modelos de poblaciones de tipo Leslie-Gower: análisis de su dinámica

Abstract

La teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales es una disciplina de las Matemáticas que describe el comportamiento de los sistemas dinámicos, los cuales en general no se pueden resolver de manera explícita. Esta rama tiene aplicaciones en diversos campos, centrándonos en particular en el estudio del modelo ecológico depredador-presa de tipo Leslie-Gower, que extiende de algún modo el modelo clásico de Lotka-Volterra y, en el cual, se analiza, además, la influencia del efecto Allee. En la primera parte de este trabajo, se presentan los conceptos básicos de la teoría cualitativa de los sistemas dinámicos lineales y no lineales, además de introducir nuevos resultados de estabilidad y explicar la técnica de blow-up para equilibrios degenerados. Después, se contextualiza y describe el modelo de Leslie-Gower sin efecto Allee, estudiando el comportamiento local de los equilibrios y llevando a cabo un análisis global que nos permite analizar la estabilidad de las poblaciones a largo plazo. Finalmente, se incorpora el efecto Allee al modelo anterior y se vuelve a estudiar la dinámica local y global.The qualitative theory of differential equations is a discipline of Mathematics that describes the behavior of dynamic systems, which in general cannot be solved explicitly. This branch has applications in many areas, but we focus on the study of the Leslie-Gower predator-prey ecological model, which in some way extends the classical Lotka-Volterra model. Moreover, we analyze the influence of the Allee effect on this model. In the first part of this project, we present the basic concepts of the qualitative theory of linear and nonlinear dynamic systems. Furthermore, we introduce new stability results and we explain the blow-up technique for degenerate singularities. Then, we contextualize and describe the Leslie-Gower model without the Allee efect, studying the local behavior of the singularities and carrying out a global analysis that allows us to analyze the long-term stability of the populations. Finally, we incorporate the Allee effect into the model and we study again the local and global dynamics of the model.