Nonparametric data-driven methods for set estimation

Abstract

A estimación de conxuntos abre un capítulo relativamente recente da estatística matemática onde a xeometría xoga un papel moi relevante. Esta teoría ten como finalidade estimar un conxunto no espazo Euclidiano a partir dunha mostra aleatoria de puntos cuxa distribución está intimamente relacionada con el. A resolución deste tipo de problemas ten aplicacións interesantes na análise clúster, en control de calidade ou na análise de imaxes para reconstruir, por exemplo, o hábitat dunha planta ou dunha especie animal. Neste traballo centrarémonos no problema de estimación do soporte e de conxuntos de nivel para unha función de densidade. Existen distintos métodos na literatura dependendo das condicións de forma asumidas sobre o conxunto a reconstruir. Se non dispoñemos de ningunha información a priori, será preciso considerar estimadores flexibles que nos permitan abordar eficientemente a maior cantidade de situacións posibles. Noutro caso, se nos restrinximos a unha familia de conxuntos a estimar, poderemos traballar con estimadores máis sofisticados, que se adapten mellor as restricións xeométricas establecidas. A marioría destes estimadores dependen fortemente da elección de parámetros de suavizado ao igual que sucede no contexto da estimación funcional non paramétrica. O obxectivo principal desta tese consiste en estimalos de xeito automático e consistente para, logo, analizar o comportamento teórico dos estimadores resultantes dos conxuntos a reconstruir.