Algebras de Lie

Abstract

En este documento realizaremos una introducción al estudio de las álgebras de Lie. Comenzamos definiendo la noción de álgebra de Lie, así como las ideas y herramientas fundamentales para su estudio, como es el caso de las representaciones. A continuación, motivados por el Teorema de Descomposición de Levi, el cual establece que toda álgebra de Lie se puede descomponer como la suma de un álgebra de Lie resoluble con un álgebra de Lie semisimple, pasamos a estudiar en detalle estas dos clases de álgebras de Lie, así como una subclase de las primeras: las álgebras de Lie nilpotentes. En este sentido, presentaremos los teoremas de Engel y de Lie. Continuaremos con los criterios de Cartan, que nos permiten decidir de forma sencilla sobre la resolublidad y la semisimplicidad por medio de la forma de Killing, una forma bilineal simétrica definida sobre el álgebra de Lie. Esta también nos permitirá ver que las álgebras de Lie semisimples son en realidad una suma de álgebras simples. Finalmente, realizaremos un estudio de la relación entre un grupo de Lie y su álgebra de Lie, lo que nos permite motivar el estudio de esta última como generador infinitesimal del grupoIn this document we provide an introduction to Lie algebras. We begin by defining the notion of Lie algebra, as well as the fundamental ideas and tools for their analysis, such as their representations. Motivated by the Levi Decomposition Theorem, which states that every Lie algebra can be decomposed as the sum of a solvable Lie algebra and a semisimple Lie algebra, we proceed to study these two classes of Lie algebras in detail, along with a subclass of the solvable ones: nilpotent Lie algebras. In this context we introduce the theorems of Engel and Lie. We then move on to the Cartan criteria, which allow us to determine easily the solvability and semisimplicity of a Lie algebra through their Killing form, a symmetric bilinear form defined on the Lie algebra. This allows us to see that semisimple Lie algebras are actually sums of simple Lie algebras. Finally, we examine the relation between a Lie group and its Lie algebra, which motivates the study of the latter as the infinitesimal generator of the group.