Rotaciones y cuaternios

Abstract

Si SO(n) es el grupo de las rotaciones de Rn, vemos que todo L ∈ SO(n) se diagonaliza por bloques que, o son triviales, o son de SO(2), y así L es una cadena par de reflexiones. En R3 se prueban los teoremas de Euler (toda rotación fija los puntos de un eje y rota el plano ortogonal) y de Rodrigues (que da el eje y el ´angulo de la composición de dos rotaciones). Estudiamos el álgebra de los cuaternios y que existe un homomorfismo del grupo de los cuaternios unitarios sobre SO(3). Probamos también que toda rotación es la exponencial de una matriz antisimétrica.

Se SO(n) é o grupo das rotacións de Rn, vemos que todo L ∈ SO(n) se diagonaliza por bloques que, ou son triviais, ou son de SO(2), e así L é unha cadea par de reflexións. En R3 próbanse os teoremas de Euler (toda rotación fixa os puntos dun eixo e rota o plano ortogonal) e de Rodrigues (que d´a o eixo e o ángulo da composición de duas rotacións). Estudiamos a álxebra dos cuaternios e vemos que existe un homomorfismo do grupo dos cuaternios unitarios sobre SO(3). Ó final próbase que toda rotación é a exponencial dunha matriz antisimétrica.

If SO(n) is the group of rotations of Rn, we see that each L ∈ SO(n) can be diagonalized by blocks that are either trivial or in SO(2), and thus, L is an even chain of reflections. In R3 we prove Euler’s theorem (every rotation leaves an axis fixed and rotates its orthogonal plane by certain angle) and Rodrigues’ (which gives the axis and the rotation angle of a composition of two rotations). We study the algebra of quaternions and we see that there is a homomorphism from the group of unitary quaternions onto SO(3). We also prove that each rotation is the exponential of an skew-symmetric matrix.