Retículos de subgrupos

Abstract

[GL] O obxectivo deste traballo é facer unha incursión na teoría de retículos para dar resposta a algunhas preguntas tales como que relacións hai entre a estrutura dun grupo G e a do seu retículo de subgrupos L(G), centrándonos especialmente nos grupos finitos. Para iso, introduciremos previamente algúns conceptos elementais da teoría básica de retículos, á que lle dedicaremos os primeiros capítulos. A relación máis básica que atopamos é que os isomorfismos entre grupos inducen isomorfismos entre os seus retículos de subgrupos, pero non á inversa. A segunda parte do traballo dedicarase a preguntas máis complexas como determinar se hai grupos asociados a unha clase de retículos. Buscaremos en dúas clases de retículos: os retículos distributivos e os retículos modulares. Finalmente, presentaremos exemplos de grupos que están determinados polo seu retículo de subgrupos.

[EN] The purpose of this work is to make a foray into lattice theory to answer some questions such that what are the relationships between the structure of a group G and that of its subgroup lattice L(G), focusing especially on finite groups. In order to do this, we will previously introduce some elementary concepts of basic lattice theory, to which we will dedicate the first chapters. The most basic relationship we find is that isomorphisms between groups induce isomorphisms between their subgroup lattices, but not the other way around. The second part of the work will be devoted to more complex questions such as determining whether there are groups associated with a lattice class. We will look at two lattice classes: distributive lattice and modular lattice. Finally, we will introduce examples of groups that are determined by their subgroup lattice.