Historia, evolución y aplicaciones del análisis de Fourier

Abstract

El análisis de Fourier tiene muchas aplicaciones en multitud de campos diferentes, como por ejemplo en el campo de procesamiento de señales, en la codi cación y compresión de imágenes o incluso en la medicina. Se trata, pues, de una de las áreas más importantes dentro del análisis armónico y, en particular, del análisis matemático en general. El trabajo comenzará con una pequeña introducción sobre la gura de Joseph Fourier, sobre el que hablaremos tanto de su vida personal como de su vida profesional. Concretamente, se incluirá una mención a su obra más importante, Teoría Analítica del Calor , la cual podemos considerar como la primera piedra del análisis armónico, ya que en ella se demuestra que cualquier función periódica puede descomponerse en series de senos y cosenos. En el Capítulo 1 veremos la de nición formal de las series de Fourier y también una forma alternativa de escribirla: la serie de Fourier compleja. Después, veremos algunos teoremas de convergencia. En el Capítulo 2 estudiaremos la ecuación de ondas y su relación con las series de Fourier. Introduciremos el método de d´Alembert y acabaremos viendo las ideas de Daniel Bernoulli y su relación con los coe cientes de las series de Fourier. En el Capítulo 3 presentaremos la integral de Fourier y, a partir de esta, de niremos la transformada de Fourier continua. Examinaremos algunas propiedades de la transformada de Fourier y concluiremos el capítulo mostrando cómo resolver ecuaciones diferenciales en derivadas parciales usándola. Finalmente, en el Capítulo 4 introduciremos los conceptos de transformadas de Fourier discreta (DFT) y de transformada rápida de Fourier (FFT). Veremos como obtener la DFT a partir de la transformada de Fourier continua y analizaremos algunas de sus propiedades más básicas. Sobre la FFT, examinaremos el contexto histórico en el que surge y veremos un ejemplo concreto de un algoritmo FFT: el caso radix-2.The Fourier analysis has many applications in a multitude of di erent elds, such as signal processing, image encoding and compression, and even medicine. It is, therefore, one of the most important areas within harmonic analysis and, in particular, mathematical analysis in general. The project will begin with a brief introduction to the gure of Joseph Fourier, of whose personal and professional life we'll talk. Speci cally, there will be a mention of his most important work, Analytical Theory of Heat , which can be considered as the cornerstone of harmonic analysis, as it demonstrates that any periodic function can be decomposed into sine and cosine series. In Chapter 1 we'll see the formal de nition of the Fourier series and an alternative way to express it: the complex Fourier series. Then, we'll explore some convergence theorems. In Chapter 2 we'll study the wave equation and its relation to the Fourier series. We'll introduce d'Alembert's method and we'll conclude by exploring the ideas of Daniel Bernoulli and their relationship with the coe cients of the Fourier series. In Chapter 3 we'll present the Fourier integral and, based on that, we'll de ne the (continuous) Fourier transform. We'll examine some properties of the Fourier transform and we'll conclude the chapter by demonstrating how to solve partial di erential equations using it. Finally, in Chapter 4 we'll introduce the concepts of discrete Fourier transforms (DFT) and fast Fourier transforms (FFT). We'll show how to obtain the DFT from the continuous Fourier transform and analyze some of its basic properties. Regarding the FFT, we'll examine the historical context in which it arises and we'll provide a speci c example of an FFT algorithm: the radix-2 case.