Levantamentos de tensores dunha variedade ao seu fibrado tanxente

Abstract

Os obxectivos principais deste traballo son: Primeiro, describir os levantamentos, verticais e completos, de distintos obxectos tensoriais (funcións, campos de vectores, 1-formas, campos de tensores...) aos fibrados tanxente e cotanxente dunha variedade diferenciable. En segundo lugar introdúcense, utilizando estes levantamentos, elementos xeométricos canónicos dos mesmos, como son a estrutura tanxente canónica e o campo de vectores de Liouville no fibrado tanxente, ou a estrutura simpléctica canónica e a 1-forma de Liouville no fibrado cotanxente. Estes elementos xeométricos permítennos, por último, desenvolver as formulacións xeométricas, tanto lagrangiana como hamiltoniana, da Mecánica, obtendo as ecuacións de Euler-Lagrange e de Hamilton

Los objetivos principales de este trabajo son: Primero, describir los levantamientos, verticales y completos, de distintos objetos tensoriales (funciones, campos de vectores, 1-formas, campos de tensores...) a los fibrados tangente y cotangente de una variedad diferenciable. En segundo lugar se introducen, utilizando dichos levantamientos, elementos geométricos canónicos de los mismos, como son la estructura tangente canónica y el campo de vectores de Liouville en el fibrado tangente, o la estructura simpléctica canónica y la 1- forma de Liouville en el fibrado cotangente. Estos elementos geométricos nos permiten, por último, desarrollar las formulaciones geométricas, tanto lagrangiana como hamiltoniana, de la Mecánica, obteniendo las ecuaciones de Euler-Lagrange y de Hamilton.

This project principal objectives' are: Firstly, to describe the vertical and complete lifts of several tensorial objects (functions, vector fields, 1-forms, tensor fields...) to the tangent and cotangent bundles of a diferentiable manifold. Secondly, using said lifts, some of their canonical geometric elements are introduced, such as the tangent canonical structure and the Liouville vector field on the tangent bundle, or the simplectic canonical structure and the Liouville 1-form on the cotangent bundle. Finally, this geometric elements allow us to develop Mechanics' geometrical formulations, both lagrangian and hamiltonian, obtaining the Euler-Lagrange and Hamilton equations