Onto‑semiotic Analysis of Diagrammatic Reasoning

Abstract

Diagrams and in general the use of visualization and manipulative material play an important role in mathematics teaching and learning processes. Although several authors warn that mathematics objects should be distinguished from their possible material representations, the relations between these objects are still conflictive both from an epistemological point of view as well as an educational one. In this paper, we apply theoretical tools of the onto-semiotic approach of mathematics knowledge to analyze the diversity of objects and processes implied in mathematics activity, which is carried out with diagrammatic representations. This enables us to appreciate the synergic relations between ostensive (visual and sequential languages) and non-ostensive objects (abstract and mental entities) overlapping in mathematics practices. The analysis of the characteristics of diagrammatic reasoning and its interpretation in onto-semiotic terms is contextualized by means of the analysis of solving a problem about fractions by applying three procedures that involve diagrams.

Los diagramas y en general el uso de visualización y material manipulativo juegan un papel importante en los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Aunque varios autores advierten que los objetos matemáticos deben distinguirse de sus posibles representaciones materiales, las relaciones entre estos objetos aún son conflictivas tanto desde un punto de vista epistemológico como educativo. En este trabajo, aplicamos herramientas teóricas del enfoque ontosemiótico del conocimiento matemático para analizar la diversidad de objetos y procesos implicados en la actividad matemática, que se realiza con representaciones diagramáticas. Esto permite apreciar las relaciones sinérgicas entre los lenguajes visuales y secuenciales y entre entes abstractos y mentales que se superponen en las prácticas matemáticas. El análisis de las características del razonamiento diagramático y su interpretación en términos ontosemióticos se contextualiza, en este trabajo, mediante el análisis de la resolución de un problema sobre fracciones aplicando tres procedimientos que involucran diagramas. Este trabajo complementa otros realizados previamente en el marco del EOS donde se analiza el papel de las representaciones en la educación matemática y el potencial uso de considerar el proceso de objetos no ostensivos implicados en el uso de estas representaciones. En este caso, también utilizamos la noción de configuración ontosemiótica para dialogar con las investigaciones realizadas sobre razonamiento diagramático y el uso de visualizaciones. La manera de entender los diagramas tiene consecuencias importantes para la enseñanza de las matemáticas, siempre que el uso de estos recursos penetre en toda la actividad matemática escolar. Consideramos que es importante superar las ingenuas posiciones empiristas sobre el uso de manipulativos y visualizaciones en los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Esta visión ontosemiótica de las prácticas matemáticas no proviene de un mundo inaccesible, sino de este mundo social en el que vivimos y estamos involucrados en nuestra práctica diaria. La visualización es útil y necesaria en la práctica de las matemáticas, sobre todo si es diagramática y, por lo tanto, refleja metafóricamente las estructuras conceptuales de las matemáticas. Sin embargo, esta capa de objetos materiales no debe impedir ver la capa de objetos inmateriales que realmente componen el sistema conceptual de las matemáticas institucionales. Ambas capas están entrelazadas y en cierta medida son inseparables. Existen relaciones dialécticas complejas entre los objetos ostensivos y no ostensivos, ya que la actividad de producción y comunicación de las matemáticas no puede llevarse a cabo sin la combinación sinérgica entre ambos tipos de objetos. Finalmente, es importante señalar que este análisis epistémico detallado tiene implicaciones robustas para la formación del profesorado de matemáticas. Hemos evidenciado que involucrar a los estudiantes en tareas de razonamiento diagramático fortalece las conexiones entre los diferentes significados del concepto matemático representado. Sin embargo, el análisis de las tareas matemáticas y las diferentes formas de abordarlas son necesarias para comprender las potenciales dificultades y obstáculos de aprendizaje. Por lo tanto, una tarea desafiante para el docente es la descripción comprensible de la actividad mostrada por los estudiantes y la construcción de su conocimiento al hacer matemáticas. En este sentido, el profesor de matemáticas debe tener conocimiento, comprensión y competencia para discriminar los distintos tipos de objetos que intervienen en la práctica matemática escolar, a partir del uso de distintos sistemas de representaciones y siendo consciente de las relaciones sinérgicas entre los mismos.