Subvariedades homoxéneas minimais nos espazos hiperbólicos complexos

Abstract

Os espazos simétricos constitúen unha clase moi importante de variedades de Riemann. O seu estudo está intimamente ligado á teoría de grupos de Lie, posto que os seus grupos de isometrías son grupos de Lie cunha estrutura moi rica. Por este mesmo motivo, trátase dunha clase de espazos na que resulta moi interesante estudar a xeometría das súas subvariedades, en especial daquelas cun alto grao de simetría. Por unha banda, a compoñente conexa da identidade do grupo de isometrías dun espacio simétrico de tipo non compacto pode escribirse como o produto dun grupo de Lie compacto cun grupo de Lie resoluble. As subvariedades do espazo simétrico que se obteñen como órbitas de subgrupos de Lie deste último denominámolas subvariedades homoxéneas resolubles. Por outra banda, unha importante xeneralización do concepto de xeodésica a calquera dimensión é o de subvariedade minimal: aquela cuxo campo curvatura media é nulo. O obxectivo fundamental deste traballo, que se enmarca na área da xeometría riemanniana de subvariedades, é o de clasificar as subvariedades homoxéneas resolubles minimais do espazo hiperbólico complexo, que é un exemplo de espazo simétrico de tipo non compacto.

Symmetric spaces constitute a very important class of Riemannian manifolds. Their investigation is intimately related to Lie group theory, since their isometry groups are Lie groups with a rich structure. Because of this fact, they turn out to be a class of spaces for which the study of their submanifolds is particularly interesting, especially of those with a high degree of symmetry. On the one hand, the identity component of the isometry group of a symmetric space of non-compact type can be expressed as the product of a compact Lie group and a solvable Lie group. The submanifolds of the symmetric space that are obtained as orbits of a Lie group of such solvable Lie group are called solvable homogeneous submanifolds. On the other hand, an important generalization of the notion of geodesic is that of minimal submanifold: a submanifold whose mean curvature vector field vanishes. The main aim of this memoir is to classify the solvable homogeneous minimal submanifolds of the complex hyperbolic space, which is an example of a symmetric space of non-compact type.