Vilar González, Guillermo2021-05-202021-05-202020http://hdl.handle.net/10347/26240Traballo Fin de Grao en Matemáticas. Curso 2019-2020[ES] El objetivo de este trabajo es el estudio de la dimensión de las variedades algebraicas afines y proyectivas y su relación con el número de ecuaciones necesario para describirlas. La dimensión como espacio topológico de una variedad algebraica afín coincide con la dimensión de Krull de su anillo de funciones regulares. En el caso de una variedad algebraica afín irreducible de 𝐾ⁿ, se prueba que su dimensión es igual al grado de trascendencia de su cuerpo de funciones racionales sobre 𝐾. Siguiendo el modelo de las variedades lineales se analiza la relación entre la dimensión de una variedad algebraica afín y el número de ecuaciones que la definen. Por ejemplo, suponiendo que el cuerpo 𝐾 es algebraicamente cerrado, se tiene que si V es una variedad algebraica afín irreducible de 𝐾ⁿ y ƒ₁,....,ƒᵣ son funciones regulares en V verificando que 𝚉(ƒ₁,....,ƒᵣ) ≠ ø, entonces toda componente irreducible de 𝚉(ƒ₁,....,ƒᵣ) tiene dimensión ≥ dim V – r; por tanto dim 𝚉(ƒ₁,....,ƒᵣ) ≥ dim V – r. En el caso r = 1, si ƒ₁ ≠ 0 y ƒ1 no es una unidad se tiene la igualdad. Los resultados para variedades algebraicas afines se extienden a variedades algebraicas proyectivas, y además podemos afirmar que si el número de ecuaciones es menor o igual que la dimensión de la variedad, entonces la variedad no es vacía.[EN] The aim of this work is to study the dimension of the affine and projective algebraic varieties and its relation to the number of equations needed to describe the variety. The dimension as a topological space of an algebraic affine variety coincides with the Krull dimension of its ring of regular functions and it is proved that if V is an irreducible affine algebraic variety of 𝐾ⁿ, its dimension equals to the transcendence degree of its field of rational functions over 𝐾. Following the model of linear algebra, the relationship between the dimension of an affine algebraic variety and the number of equations that define it is analized. For example, for an algebraically closed field 𝐾, in the case of an irreducile affine algebraic variety V , if ƒ₁,....,ƒᵣ are regular functions on V and 𝚉(ƒ₁,....,ƒᵣ) ≠ ø, then all irreducible components of 𝚉(ƒ₁,....,ƒᵣ) have dimensión ≥ dim V – r ; thus, dim 𝚉(ƒ₁,....,ƒᵣ) ≥ dim V – r. For r = 1, if ƒ₁ is not cero or a unit, we have equality. The results for affine algebraic varieties extend to projective algebraic varieties and we can also affirm, in favorable cases, that the varieties obtained are not empty.spaAtribución-NoComercial-CompartirIgual 4.0 Internacionalhttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/bachelor thesisopen access