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T1 Introducción a la teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales
A1 Vázquez Pardo, Aida
AB [ES] La Teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales es, en la actualidad, una de lasherramientas más importantes en el estudio de las ecuaciones diferenciales, especialmentecuando son difíciles o imposibles de resolver. En este trabajo de fin de grado damos unaintroducción a esta rama de las matemáticas, centrándonos en el estudio de los diagramasde fases de sistemas autónomos definidos en el plano.En primer lugar, se introducen los conceptos y resultados básicos más importantes en laTeoría cualitativa. Después se presentan dos teoremas que determinan el comportamientode las órbitas de un sistema en un entorno de las singularidades no degeneradas y semihiperbólicas.También se presenta la llamada compactificación de Poincaré, que nos permitedibujar el diagrama de fases global de un sistema de ecuaciones diferenciales plano en unaregión delimitada del plano, el disco de Poincaré. Para finalizar, se incluyen algunas aplicacionesde la Teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales al campo de la biología. Sepresenta un modelo que representa el latido del corazón, otro que define el potencial deacción de una neurona y finalmente el modelo de la glucólisis de Selkov, con un estudiocualitativo en el disco de Poincaré.
AB [EN] The Qualitative Theory of Differential Equations is currently one of the most importanttools in the study of differential equations, especially when they are difficult or impossibleto solve. In this final degree project we give an introduction to this field of mathematics,focusing on the study of phase portraits of autonomous systems defined in the plane.First of all, the most importan basic concepts and results of the qualitative theoryare introduced. Then two theorems that determine the behavior of the orbits of a systemin an environment of non-degenerate and semi-hyperbolic singularities are presented. Theso-called Poincaré compactification is also presented, which allows us to draw the global phase portrait of a system of plane differential equations in a limited region of the plane, thePoincaré disk. Finally, some applications of the Qualitative Theory of differential equationsto the field of biology are included. We present a model that represents the heartbeat,another that defines the action potential of a neuron and finally the Selkov glycolysismodel, with a qualitative study on the Poincaré disk.
YR 2020
FD 2020-07
LK http://hdl.handle.net/10347/26238
UL http://hdl.handle.net/10347/26238
LA spa
NO Traballo Fin de Grao en Matemáticas. Curso 2019-2020
DS Minerva
RD 25 abr 2026