RT Generic
T1 Xeometría extrínseca global de superficies
A1 Otero Vázquez, Fabián
AB [GL] O obxectivo deste traballo é facer un percorrido polos resultados máis importantes daxeometría diferencial dende un punto de vista extrínseco, ata chegar ao célebre Teoremade Alexandrov e ser tamén capaces de responder ao problema isoperimétrico.Comezamos definindo os conceptos básicos de 𝘰𝘷𝘢𝘭𝘰𝘪𝘥𝘦 𝘦 𝘥𝘰𝘮𝘪𝘯𝘪𝘰 𝘪𝘯𝘵𝘦𝘳𝘪𝘰𝘳, que nospermitirán adentrarnos no Teorema de Hadamard-Stoker, o cal nos brinda propiedadesdas superficies conexas, pechadas en 𝕽³ e con curvatura de Gauss positiva en tódolospuntos. A continuación preséntanse as Fórmulas de Minkowski e, consecuentemente, oTeorema de Hilbert-Liebmann e o de Jellet. Estes resultados, xunto coa Desigualdade deHeintze-Karcher, achégannos ao Teorema de Alexandrov, que nos di que se unha superficiecompacta e conexa ten curvatura media constante, entón é unha esfera. Remataremos onoso estudo dando unha demostración do problema isoperimétrico no espazo euclidianode dimensión tres, cuxa resposta xa era coñecida polos gregos aínda que non souberanxustificalo.
AB [EN] The aim of this work is to have a glimpse at the most important results of differentialgeometry from an extrinsic point of view. We will present the famous Alexandrov Theoremand tackle the isoperimetric problem.We start by defining the basic concepts of 𝘰𝘷𝘢𝘭𝘰𝘪𝘥 and 𝘪𝘯𝘯𝘦𝘳 𝘥𝘰𝘮𝘢𝘪𝘯, which will allowus to delve into the Hadamard-Stoker Theorem, that gives us properties of connected andclosed surfaces in 𝕽³ with positive Gaussian curvature everywhere. Then we introduce theMinkowski Formulas and, as a consequence, the Hilbert-Liebmann and Jellet Theorems.These results, along with Heintze-Karcher Inequality, bring us closer to the Alexandrov Theorem, which states that a compact and connected surface with constant mean curvatureis a sphere. We will finish our study by giving a proof of the isoperimetric problem in thethree dimensional Euclidean space, the answer of which was already known to the Greekseven though they did not know how to justify it.
YR 2019
FD 2019-07
LK http://hdl.handle.net/10347/26414
UL http://hdl.handle.net/10347/26414
LA glg
NO Traballo Fin de Grao en Matemáticas. Curso 2018-2019.
DS Minerva
RD 29 abr 2026