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T1 Dimensión y número de ecuaciones de las variedades algebraicas afines y proyectivas
A1 Vilar González, Guillermo
AB [ES] El objetivo de este trabajo es el estudio de la dimensión de las variedades algebraicasafines y proyectivas y su relación con el número de ecuaciones necesario para describirlas.La dimensión como espacio topológico de una variedad algebraica afín coincide con ladimensión de Krull de su anillo de funciones regulares. En el caso de una variedad algebraicaafín irreducible de 𝐾ⁿ, se prueba que su dimensión es igual al grado de trascendencia desu cuerpo de funciones racionales sobre 𝐾.Siguiendo el modelo de las variedades lineales se analiza la relación entre la dimensiónde una variedad algebraica afín y el número de ecuaciones que la definen. Por ejemplo,suponiendo que el cuerpo 𝐾 es algebraicamente cerrado, se tiene que si V es una variedadalgebraica afín irreducible de 𝐾ⁿ y  ƒ₁,....,ƒᵣ son funciones regulares en V verificando que𝚉(ƒ₁,....,ƒᵣ) ≠ ø, entonces toda componente irreducible de 𝚉(ƒ₁,....,ƒᵣ) tiene dimensión ≥  dim V – r; por tanto dim 𝚉(ƒ₁,....,ƒᵣ)  ≥ dim V – r. En el caso r = 1, si ƒ₁ ≠ 0 y ƒ1 noes una unidad se tiene la igualdad.Los resultados para variedades algebraicas afines se extienden a variedades algebraicasproyectivas, y además podemos afirmar que si el número de ecuaciones es menor o igualque la dimensión de la variedad, entonces la variedad no es vacía.
AB [EN] The aim of this work is to study the dimension of the affine and projective algebraicvarieties and its relation to the number of equations needed to describe the variety.The dimension as a topological space of an algebraic affine variety coincides with theKrull dimension of its ring of regular functions and it is proved that if V is an irreducibleaffine algebraic variety of 𝐾ⁿ, its dimension equals to the transcendence degree of its fieldof rational functions over 𝐾. Following the model of linear algebra, the relationship between the dimension of anaffine algebraic variety and the number of equations that define it is analized. For example,for an algebraically closed field 𝐾, in the case of an irreducile affine algebraic variety V , ifƒ₁,....,ƒᵣ  are regular functions on V and 𝚉(ƒ₁,....,ƒᵣ) ≠ ø, then all irreducible componentsof 𝚉(ƒ₁,....,ƒᵣ)  have dimensión ≥  dim V – r ; thus, dim 𝚉(ƒ₁,....,ƒᵣ)  ≥ dim V – r. For r = 1, if ƒ₁ is not cero or a unit, we have equality.The results for affine algebraic varieties extend to projective algebraic varieties and wecan also affirm, in favorable cases, that the varieties obtained are not empty.
YR 2020
FD 2020
LK http://hdl.handle.net/10347/26240
UL http://hdl.handle.net/10347/26240
LA spa
NO Traballo Fin de Grao en Matemáticas. Curso 2019-2020
DS Minerva
RD 23 abr 2026