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T1 Aproximación trigonométrica y transformada rápida de Fourier: algoritmo de Cooley-Tukey
A1 Alborés Pérez, Francisco
AB El objetivo principal de este trabajo es presentar, analizar, implementar y comparar elalgoritmo de Cooley-Tukey para el cálculo de la Transformada Rápida de Fourier conocidapor sus siglas en inglés: FFT (Fast Fourier Transform). Esto se hace en los Capítulos 5 y 6,mientras que los otros cuatro capítulos están dedicados a motivar y justificar la necesidadde la Transformada Rápida de Fourier como algoritmo del cálculo de la Transformada deFourier Discreta (en inglés, DFT, Discret Fourier Transform) que es introducida desdecuatro puntos de vista distintos.El el primer capítulo se introduce la DFT como una aproximación discreta de la Transformadade Fourier Continua mediante fórmulas de cuadratura para aproximar la integralque la define.En el Capítulo 2 planteamos la aproximación de una función en el sentido de mínimoscuadrados por un polinomio trigonométrico de Fourier de grado m. Cuando m tiende a 1tendremos la conocida serie de Fourier de la función. La serie de Fourier es una potenteherramienta de aproximación de funciones. Mostraremos su relación con la TransformadaDiscreta de Fourier a través del cálculo efectivo de los coeficientes de dicha serie utilizandofórmulas de cuadratura para el cálculo aproximado de las integrales que las definen.La interpolación trigonométrica será el objeto de estudio del Capítulo 3. En él plantearemosla interpolación con polinomios trigonométricos y polinomios de fase. En ambassituaciones se expondrá la estrecha relación del cálculo de los coeficientes del polinomiocon la Transformada de Fourier Discreta.En el Capítulo 4 introducimos la DFT a través del cálculo efectivo de los coeficientesdel polinomio trigonométrico de ajuste en el sentido de mínimos cuadrados discretos.El Capítulo 5 llegamos a la parte central del trabajo, donde se expone un métodoefectivo para el cálculo de la Transformada Discreta: la Transformada Rápida de Fouriery, en particular, el algoritmo de Cooley-Tukey.Por último, ocupamos el último capítulo con una recopilación de varios ejemplos delas situaciones expuestas en el trabajo poniendo en práctica el algoritmo desarrollado ymostrando sus beneficios frente a un cálculo directo de la Transformada de Fourier Discreta. El trabajo termina con un anexo donde se recogen los códigos del algoritmo programadoen Matlab.
AB The main objective of this project is to present, analyze, implement and compareCooleyTukey's algorithm in order to calculate the Fast Fourier Transform (FFT), knownin Spanish as Transformada Rápida de Fourier. This is calculated in chapters 5 and 6,while the other four chapters are dedicated to promote and justify the need of Fast FourierTransform as the algorithm to calculate the Discrete Fourier Transform (DFT) (in Spanish:Transformada de Fourier Discreta) that is presented in four different points of view.In the first chapter DFT is introduced as a discrete approximation of Continuous FourierTransform with the use of quadrature formulas to approximate the integral that defines it.In the Chapter 2 we propose the approximation of a function in the way of leastsquareswith grade m Fourier's trigonometric polynomial. When m tends to 1 we obtainthe known Fourier's series of the function. Fourier's series is a potent tool to approximatefunctions. We will show how it relates to the Discrete Fourier Transform with the effectivecalculation of the coeficients of the referred series by using quadrature formulas that definethe approximated calculation of the integrals.Trigonometric interpolation is the main object of study in Chapter 3, in which wewill present the interpolation of trigonometric polynomial and phase polynomial. For bothcases we will prove how the coeficients' calculation of the polynomial is strongly relatedto the Discrete Fourier Transformation.In the Chapter 4 we introduce the DFT by the effective calculation of the coeficientsof the trigonometrical polynomial fit in the way of discrete least-squares.In the Chapter 5 we reach the main part of the project, where the effective methodfor the calculation of the Discrete Transform is exposed: the Fast Fourier Transform and,in particular, the Cooley-Tukey's algorithm.In the end, we use the last chapter as a recompilation of different examples of thesituations exposed in the project using the developed algorithm and showing its benefitsin opposition to the direct calculation of the Discrete Fourier Transform.The project concludes with an annex where the programmed Matlab codes of thealgorithm are collected.
YR 2022
FD 2022-01
LK http://hdl.handle.net/10347/30021
UL http://hdl.handle.net/10347/30021
LA spa
NO Traballo Fin de Grao en Matemáticas. Curso 2021-2022
DS Minerva
RD 25 abr 2026