RT Generic
T1 Teorema fundamental de la teoría local de superficies en R³
A1 Alonso López, Celso
AB [ES] Dado un abierto U de R², es bien sabido, (de la materia Curvas y Superficies del Gradode Matemáticas), que toda parametrización Φ : U → R³ tiene asociadas dos funcionesmatricialesI, II : U → M₂x₂(R)que reciben el nombre de primera y segunda forma fundamentales de la parametrizacióny que a cada punto de U le asignan sendas matrices 2 x 2 simétricas, siendo I(u) definidapositiva para todo u ∈ U.En este trabajo probaremos el Teorema Fundamental de Superficies, el cual dice losiguiente: dadas dos funcionesg,L : U → M₂x₂(R)definidas en un abierto U de R² y con valores en el espacio vectorial de las matricessimétricas 2 x 2 (con la primera de ellas definida positiva) y fijados u₀ ∈ U, p₀ ∈ R³y una base ortonormal (w1;w2;w3) de orientación positiva en R³ entonces existen unentorno abierto U₀ ⊂ U y una parametrización Φ : U₀→ R³ cuya imagen S es unasuperficie que contiene a Φ(u₀) = p₀, y cuya base X₁(p₀) = D₁Φ(u₀), X₂(p₀) = D₂Φ(u₀)del plano tangente Tp₀S verifica X₁(p₀) = w₁, X₂(p₀) = w₂, (X₁(p₀) x X₂(p₀))/ X₁(p₀) xX₂(p₀)// = w3. Además para todo u ∈ U₀ las matrices de la primera forma fundamental dela parametrización en u coinciden respectivamente con g(u) y L(u).La primera y segunda forma fundamental se definen, de manera única, en una superficiede R³ salvo isometrías, y dadas dos formas cuadráticas podemos construir una superficietal que esas formas cuadráticas sean su primera y segunda forma fundamental si satisfacenciertas condiciones llamadas ecuaciones de compatibilidad.Esto fue estudiado por primera vez por el matemático francés Pierre Ossian Bonnet(1819-1892). En diversos textos se puede encontrar este teorema bajo el nombre de Teoremade Bonnet.Actualmente es complicado encontrar en la literatura básica de geometría una demostración uniforme de estos resultados y es eso precísamente lo que haremos en este trabajo. También veremos la relación que tiene este teorema con el criterio de Frobenius, que utilizaremospara saber si un sistema de ecuaciones diferenciales parciales tiene solución común.Observaremos a lo largo del trabajo que la primera y segunda forma fundamental de unasuperficie están relacionadas mediante las ecuaciones de Mainardi-Codazzi y la ecuaciónde Gauss, que son conocidas como las condiciones de compatibilidad y son una condiciónsuficiente para la demostración del teorema. Estas ecuaciones fueron demostradas inicialmentepor Gauss con una notación algo complicada y posteriormente fueron demostradascon una notación más accesible por Mainardi y Codazzi de forma casi simultánea en 1856.
AB [EN] Given an open U of R², it is well known, (from the subject Curves and Surfaces ofthe Mathematics Degree), that all parameterization   Φ : U → R³  has two matrix functionsassociatedI, II : U → M₂x₂(R)which receive the name of  first and second fundamental forms of the parametrization andthat to each point of U assigns 2 x  2 symmetrical matrixes, being I (u) defined positivefor all u ∈ U. In this work we will prove the Theorem of Local Surface which says thefollowing: given two functionsg,L : U → M₂x₂(R)defined in an open U of R² with values of the vector space of the symmetric matrixes 2 x 2(with the  first of them defined positive) and fixed u₀ ∈ U, p₀ ∈ R³ and an orthonormalbasis (w1;w2;w3) of positive orientation in R³ then there is an open environment U₀ ⊂ Uand a parameterization   Φ : U₀→ R³  whose image S is a surface containing  Φ(u₀) = p₀,and whose base X₁(p₀) = D₁Φ(u₀), X₂(p₀) = D₂Φ(u₀) of the tangent plane Tp₀S verifiesX₁(p₀) = w₁, X₂(p₀) = w₂, (X₁(p₀) x X₂(p₀))/ X₁(p₀) xX₂(p₀)// = w3 In addition,for all u ∈ U₀ the matrixes of the  first fundamental form of the parameterization in ucoincide respectively with g (u) and L (u). The  first and second fundamental form aredefined, in a unique way, in a surface of R³ except isometries, and given two quadraticforms we can construct a surface such that those quadratic forms are their  first and secondfundamental form if they satisfy certain conditions called compatibility equations. Thiswas  first studied by the French mathematician Pierre Ossian Bonnet (1819-1892). Thistheorem can be found in some texts under the name of Bonnet's Theorem. Currently, it isdifficult to find a uniform demonstration of these results in the basic geometry literatureand that is precisely what we will do in this work. We will also see the relationship that thistheorem has with the Frobenius criterion, which we will use to know if a system of partialdi erential equations has a common solution. We will observe throughout this work thatthe fist and second fundamental form of a surface are related by the Mainardi-Codazziequations and the Gaussian equation, which are known as the compatibility conditionsand are a sufficient condition for the proof of the theorem. These equations were initiallydemonstrated by Gauss with a complicated notation and were later demonstrated with amore accessible notation by Mainardi and Codazzi almost simultaneously in 1856.
YR 2020
FD 2020-09
LK http://hdl.handle.net/10347/28677
UL http://hdl.handle.net/10347/28677
LA spa
NO Traballo Fin de Grao en Matemáticas. Curso 2021-2021
DS Minerva
RD 27 abr 2026