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T1 Ecuaciones de Euler de fluidos incompresibles
A1 Álvarez López, Antonio
AB [ES] Uno de los objetivos de este trabajo es realizar una introducción de las leyes matemáticasque rigen el campo físico de la dinámica de fluidos, especialmente a través dela presentación y el análisis de las ecuaciones de Navier-Stokes y su versión simplificada,conocida como las ecuaciones de Euler. Para estas últimas, se pretende además exponerciertas líneas recientes de investigación matemática sobre cuestiones sin resolver que giranen torno a ellas, así como revisar algunos resultados y pruebas de cierta complejidadmatemática.El trabajo comenzará con una introducción histórica a este campo y una reflexiónsobre el papel que desempeñan las matemáticas para estudiar la realidad. A continuación,se presentarán formalmente las bases teóricas del área de estudio y se llevará a cabo laderivación clásica de las ecuaciones de Navier-Stokes con la finalidad de comprender elorigen y los efectos de cada uno de sus términos. Además, se explicará el problema deexistencia y regularidad sobre dichas ecuaciones, que tras varios siglos está todavía abierto.Las ecuaciones de Euler de fluidos incompresibles, que dan nombre al trabajo, seránobtenidas a partir de las anteriores como un caso límite. Se llevará a cabo un análisis localde dichas ecuaciones y se introducirá la vorticidad a partir de un resultado que relacionala existencia de singularidades en las soluciones con este campo vectorial. Se obtendráun sistema de ecuaciones para la vorticidad y se analizarán sus términos e interaccionesentre sí. Para ello se introducen varios modelos unidimensionales que permiten intuir sucomportamiento, los cuales están basados en el operador lineal continuo conocido comotransformada de Hilbert. Por último, se enunciarán dos resultados sobre la existencia desingularidades en tiempo finito para uno de los modelos. Las demostraciones de ambosresultados serán revisadas, así como expuestas las ideas principales subyacentes.
AB [EN] One of the objectives of this work is to introduce the mathematical laws that governthe physical field of fluid dynamics, especially through the presentation and analysis of theNavier-Stokes equations and their simplified version, known as the Euler equations. Forthe latter, it is also intended to expose certain recent lines of mathematical research onunsolved questions that revolve around them, as well as review some results and tests of acertain mathematical complexity.The work will begin with a historical introduction to fluid dynamics and a reflectionon the role that mathematics plays in studying reality. Next, the theoretical bases of thefield of study will be formally presented and the classical derivation of the Navier-Stokesequations will be carried out in order to understand the origin and effects of each of itsterms. In addition, the problem of existence and regularity on these equations will beexplained, which after several centuries is still open.The Euler equations of incompressible fluids, which give this work its name, will beobtained from the previous ones as a limit case. A local analysis of these equations will becarried out and the vorticity will be introduced from a result that relates the existence ofsingularities in the solutions with this vector field. A system of equations for vorticity willbe obtained and their terms and interactions with each other will be analyzed. To do this,we introduce several one-dimensional models that allow us to intuit their behavior, whichare based on the continuous linear operator known as the Hilbert transform. Finally, tworesults will be stated on the existence of singularities in finite time for one of the models.Proofs of both results will be reviewed, and the underlying main ideas exposed.
YR 2021
FD 2021-07
LK http://hdl.handle.net/10347/28770
UL http://hdl.handle.net/10347/28770
LA spa
NO Traballo Fin de Grao en Matemáticas. Curso 2020-2021
DS Minerva
RD 25 abr 2026